HomeCác dạng toán về Hàm số liên tục
Thứ Bảy, 17 tháng 9, 2016
$\bullet$ Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm.
$\bullet$ Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng, một đoạn.
$\bullet$ Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình.
1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Bài toán. Xét tính liên tục của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ thuộc tập xác định của hàm số.
Phương pháp. Sử dụng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm: $$f(x)\;\text{liên tục tại điểm}\; x_0 \Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$ Nhận xét. Điều kiện tồn tại giới hạn: $$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\ell\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\ell$$
Phương pháp. Sử dụng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm: $$f(x)\;\text{liên tục tại điểm}\; x_0 \Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$ Nhận xét. Điều kiện tồn tại giới hạn: $$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\ell\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\ell$$
Ví dụ 1 (HKII 2015). Cho hàm số $$f(x)=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{x^2-16}{x-4} &\text{khi}\;x\ne 4 \\
3x-4& \text{khi}\;x=4
\end{matrix}\right.$$Xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x_0=4$.
Giải$\bullet$ Ta có $\lim\limits_{x\to 4}f(x)=\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}=\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{(x+4)(x-4)}{x-4}=\lim\limits_{x\to 4}(x+4)=8$.
$\bullet$ $f(4)=8$.
$\bullet$ Do $\lim\limits_{x\to 4}f(x)=f(4)$ nên hàm số liên tục tại điểm $x_0=4$.
Ví dụ 2. Cho hàm số
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{x^2-x-2}{x-2} &\text{khi}\;x>2 \\
5-x & \text{khi}\;x\le2
\end{matrix}\right.$$
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x=2$.
Giải$\bullet$ $\lim\limits_{x\to 2^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^+}\frac{x^2-x-2}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2^+}\frac{(x+1)(x-2)}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2^+}(x+1)=3.$
$\bullet$ $\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^-}(5-x)=3$.
Suy ra $\lim\limits_{x\to 2}f(x)=3$.
$\bullet$ $f(2)=3$.
$\bullet$ Do $\lim\limits_{x\to 2}f(x)=f(2)$ nên hàm số liên tục tại điểm $x=2$.
Ví dụ 3. Cho hàm số $$f(x)=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{\sqrt{7x-10}-2}{x-2} &\text{khi}\;x>2 \\
mx+3& \text{khi}\;x\le 2
\end{matrix}\right.$$Tìm $m$ để hàm số liên tục tại điểm $x=2$.
Giải$\bullet$ $\lim\limits_{x\to 2^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^+}\dfrac{\sqrt{7x-10}-2}{x-2}=\ldots=\dfrac{7}{4}$ (nhân biểu thức liên hợp).
$\bullet$ $\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^-}(mx+3)=2m+3$.
$\bullet$ $f(2)=2m+3$.
$\bullet$ Để hàm số liên tục tại điểm $x=2$ thì $$\lim\limits_{x\to 2^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)=f(2)\Leftrightarrow 2m+3=\dfrac{7}{4}\Leftrightarrow m=-\dfrac{5}{8}$$
2. Xét tính liên tục của hàm số tại trên một khoảng, một đoạn
$\bullet$ Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
$\bullet$ Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $(a;b)$ và $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=f(a), \lim\limits_{x\to b^-}f(x)=f(b)$.
Định lý.
$\bullet$ Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$.
$\bullet$ Hàm số phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
$\bullet$ Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $(a;b)$ và $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=f(a), \lim\limits_{x\to b^-}f(x)=f(b)$.
Định lý.
$\bullet$ Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$.
$\bullet$ Hàm số phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
Ví dụ 4. Cho hàm số $$f(x)=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{2x^2-2x}{x-1} &\text{khi}\;x\ne 1 \\
5& \text{khi}\;x= 1
\end{matrix}\right.$$Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
Giải$\bullet$ Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$.
$\bullet$ Nếu $x\ne 1$ thì $f(x)=\dfrac{2x^2-2x}{x-1}$ là hàm phân thức hữu tỷ nên nó liên tục trên tập xác định của nó là các khoảng $\left ( -\infty;1 \right )\vee \left ( 1;+\infty \right )$.
$\bullet$ Nếu $x=1$ ta có $f(1)=5$ và $$\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2x^2-2x}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2x(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}2x=2$$ Do $\lim\limits_{x\to 1}f(x)\ne f(1)$ nên hàm số gián đoạn tại $x=1$.
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng $\left ( -\infty;1 \right ), \left ( 1;+\infty \right )$ và gián đoạn tại $x=1$.
Ví dụ 5. Xét tính liên tục trên toàn trục số của hàm số $f(x)$ cho dưới đây:
$$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{x^2-7x+12}{x-3}&\text{nếu}\;x<3\\
2x-6&\text{nếu}\;x\ge 3
\end{cases}$$
Giải$\bullet$ Với $x<3$ thì $f(x)=\dfrac{x^2-7x+12}{x-3}$ là hàm phân thức hữu tỷ nên nó liên tục trên khoảng $\left ( -\infty;3 \right )$.
$\bullet$ Với $x>3$ thì $f(x)=2x-6$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên $\left ( 3;+\infty \right )$.
$\bullet$ Với $x=3$ thì $f(3)=0$. Ngoài ra $\lim\limits_{x\to 3^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^+}\left ( 2x-6\right )=0$ và $\lim\limits_{x\to 3^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^-}\dfrac{x^2-7x-12}{x-3}=\lim\limits_{x\to 3^-}(x-4)=-1$.
Do đó hàm số gián đoạn tại $x=3$.
3. Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình
Để chứng minh phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm ta cần tìm hai số $a$ và $b$ sao cho $f(a).f(b)<0$ và hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$.
Chú ý.
$\bullet$ Nếu phương trình có chứa tham số, thì cần chọn $a$ và $b$ sao cho $f(a), f(b)$ không còn chứa tham số hay chứa tham số nhưng có dấu không đổi; hoặc $f(a).f(b)$ có chứa tham số nhưng tích $f(a).f(b)$ luôn âm.
$\bullet$ Ta cũng có thể chọn đoạn $\left [ a_1;b_1 \right ]\subset \left [ a;b \right ]$.
Chú ý.
$\bullet$ Nếu phương trình có chứa tham số, thì cần chọn $a$ và $b$ sao cho $f(a), f(b)$ không còn chứa tham số hay chứa tham số nhưng có dấu không đổi; hoặc $f(a).f(b)$ có chứa tham số nhưng tích $f(a).f(b)$ luôn âm.
$\bullet$ Ta cũng có thể chọn đoạn $\left [ a_1;b_1 \right ]\subset \left [ a;b \right ]$.
Ví dụ 6.
Chứng minh rằng phương trình $-2x^3+7x^2+6x-21=0$ có nghiệm trên khoảng $(-2;-1)$.
GiảiChứng minh rằng phương trình $-2x^3+7x^2+6x-21=0$ có nghiệm trên khoảng $(-2;-1)$.
$\bullet$ Xét hàm số $f(x)=-2x^3+7x^2+6x-21$ là hàm đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$ nên nó liên tục trên đoạn $\left [ -2;-1 \right ]$.
$\bullet$ Ta có $\left\{\begin{matrix} f(-2) =&11 \\ f(-1)=&-18 \end{matrix}\right.\Rightarrow f(-2).f(-1)<0$.
Vậy phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trên $(-2;-1)$.
Ví dụ 7.
Chứng minh rằng phương trình $2m(x-1)^2(x-2)+2x-3=0$ luôn có nghiệm với mọi giá trị của $m$.
GiảiChứng minh rằng phương trình $2m(x-1)^2(x-2)+2x-3=0$ luôn có nghiệm với mọi giá trị của $m$.
$\bullet$ Xét hàm số $f(x)=2m(x-1)^2(x-2)+2x-3$ là hàm đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$ nên nó liên tục trên đoạn $\left [ 1;2 \right ]$.
$\bullet$ Ta có $\left\{\begin{matrix} f(1) =&-1 \\ f(2)=&1 \end{matrix}\right.\Rightarrow f(1).f(2)<0$.
Vậy phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trên $(1;2)$ với mọi giá trị của $m$.
