HomeNghịch lý Monty Hall
Thứ Bảy, 17 tháng 9, 2016
1. Nội dung Nghịch lý Monty Hall
Tại Châu Âu, từng thịnh hành trò chơi mang tên "Dốc sức". Ở phần kết thúc người chơi được chọn phần thưởng của mình được để ở một ba chiếc hộp đậy kín như hình vẽ.Sau khi người chơi đã chọn được chiếc hộp mà người chơi tin rằng trong đó có phần thưởng thì MC (người dẫn chương trình) sẽ mở một trong hai chiếc hộp còn lại (tất nhiên là chiếc hộp này không có phần thưởng rồi). Sau đó còn lại hai chiếc hộp, MC cho phép người chơi được quyền đổi hoặc giữ nguyên cái hộp lúc ban đầu.
Vậy câu hỏi được đặt ra là có nên đổi chiếc hộp hay không ?
Nhiều người chúng ta sẽ trả lời rằng: Đổi hay không thì xác suất cũng là $50%$ thôi. Do đó khả năng có được phần thưởng là $50 - 50$.
Tuy nhiên, với Xác suất chúng ta sẽ chỉ ra rằng, nếu đổi chiếc hộp thì xác suất của chúng ta sẽ tăng từ $\dfrac{1}{3}$ lên thành $\dfrac{2}{3}$. Tại sao có điều vô lý như vậy ? Ta thường gọi đây là nghịch lý Monty Hall
Monty Hall
Trước khi chứng minh nghịch lý này bằng xác suất, chúng ta cùng xem minh họa cho khẳng định trên qua hình vẽ dơn giản sau:
Hình vẽ minh họa khẳng định
2. Chứng minh bằng xác suất
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh bằng Toán học.
Các bạn cần nhớ lại Định lý Bayes trong Toán học:
$$P\left ( A|B \right )=\dfrac{P\left ( B|A \right )P\left ( A \right )}{P\left ( B \right )}$$
Giải thích đơn giản cho định lý này là: Xác suất để xảy ra biến cố A khi biết biến cố B thì đúng bằng tích của xác suất để xảy ra biến cố B khi biết biến cố A với xác suất xảy ra biến cố A chia cho xác suất xảy ra biến cố B.
Trong bài toán trên, chúng ta có 3 biến cố quan trọng:
- Hộp mà người chơi chọn, ký hiệu $D_n$.
- Hộp mà MC mở, ký hiệu $M_n$.
- Hộp có phần thưởng, ký hiệu là $C_n$.
$$\begin{align*}
P=&P\left ( C_2|M_3,D_1 \right )\\=&\dfrac{P\left ( M_3,C_2|D_1 \right )}{P\left ( M_3|D_1 \right )}\\=&\dfrac{P\left ( M_3|C_2,D_1 \right )P\left ( C_2|D_1 \right )}{P_1+P_2+P_3}\\
=&\dfrac{1.\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} +1.\dfrac{1}{3}+0.\dfrac{1}{3}}\\
=&\dfrac{2}{3}
\end{align*}$$
Trong đó
- $P_1=P\left ( M_3|C_1,D_1 \right )P\left ( C_1|D_1 \right )$
- $P_2=P\left ( M_3|C_2,D_1 \right )P\left ( C_2|D_1 \right )$
- $P_3=P\left ( M_3|C_3,D_1 \right )P\left ( C_3|D_1 \right )$
Vì vậy nếu người chơi chon hộp số 1 và MC mở hộp số 3 thì có 66,6% là phần thưởng ở hộp số 2 và chỉ có 33,3% ở hộp số 1.
Vậy lời khuyên nếu chúng ta là người chơi thì hãy luôn thử vận may đến cùng!
